Metodo dei Dischi e Rotazione Attorno agli Assi
Il calcolo dei volumi dei solidi di rotazione rappresenta un'altra straordinaria applicazione degli integrali definiti. Quando una regione di piano delimitata dal grafico di una funzione continua \(f(x)\) e dall'asse \(x\) ruota attorno all'asse delle ascisse nell'intervallo \([a, b]\), genera un solido di rotazione tridimensionale.
Considerando il solido come un insieme infinito di dischi circolari infinitesimali di raggio \(f(x)\) e spessore \(dx\), il volume \(V\) si calcola tramite la formula:
\[V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx\]
Analogamente, se la rotazione avviene attorno all'asse delle ordinate (asse \(y\)) per una funzione invertibile \(x = g(y)\) compresa tra \(c\) e \(d\), la formula per il volume diventa:
\[V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 \, dy\]
💡 Casi Particolari e Solidi tra due Curve
- Rotazione attorno a una retta parallela all'asse \(x\): Si adatta il raggio considerando la distanza tra la funzione e la retta di rotazione \(y = k\): \(V = \pi \int_{a}^{b} [f(x) - k]^2 \, dx\).
- Metodo dei gusci cilindrici o differenza di volumi: Se la regione è compresa tra due curve \(f(x)\) e \(g(x)\), il volume del solido cavo generato per rotazione attorno all'asse \(x\) è dato da \(V = \pi \int_{a}^{b} \left([f(x)]^2 - [g(x)]^2\right) \, dx\).