Strategia di Calcolo Rapido
Quando ci viene fornita un'equazione in forma normale \(x^2 + y^2 + ax + by + c = 0\), il calcolo del centro \(C\) e del raggio \(r\) richiede di prestare molta attenzione ai segni dei coefficienti \(a\) e \(b\).
💡 Regola pratica dei segni:
Per trovare l'ascissa e l'ordinata del centro, si prendono i coefficienti di \(x\) e \(y\), si dividono per \(2\) e se ne cambia il segno.
Per trovare l'ascissa e l'ordinata del centro, si prendono i coefficienti di \(x\) e \(y\), si dividono per \(2\) e se ne cambia il segno.
Procedimento Operativo Passo-Passo
- Ispeziona l'equazione: Verifica che i coefficienti di \(x^2\) e \(y^2\) siano uguali a \(1\). Se sono diversi (es. \(2x^2 + 2y^2\)), dividi l'intera equazione per quel numero prima di procedere.
- Estrai i valori dei coefficienti \(a\), \(b\) e del termine noto \(c\).
- Calcola \(x_C = -\frac{a}{2}\) e \(y_C = -\frac{b}{2}\).
- Applica la formula del raggio sfruttando direttamente le coordinate del centro appena trovate: $$r = \sqrt{x_C^2 + y_C^2 - c}$$
📝 Esercizio Esempio Guidato
Trova centro e raggio di: \(2x^2 + 2y^2 + 8x - 4y - 16 = 0\)
Svolgimento:
- Dividiamo tutto per \(2\) per normalizzare: $$x^2 + y^2 + 4x - 2y - 8 = 0$$
- Ricaviamo \(a = 4\), \(b = -2\), \(c = -8\).
- Calcoliamo il centro: $$x_C = -\frac{4}{2} = -2, \quad y_C = -\frac{-2}{2} = 1 \implies C(-2; 1)$$
- Calcoliamo il raggio: $$r = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 - (-8)} = \sqrt{4 + 1 + 8} = \sqrt{13}$$
🎯 Risultato: \(C(-2; 1)\) e \(r = \sqrt{13}\).