Cosa sono gli Angoli Associati?
Due angoli si dicono associati quando le loro misure differiscono per multipli o sottomultipli di un angolo retto (\(90^\circ\) o \(\frac{\pi}{2}\)). Sfruttando le simmetrie geometriche sulla circonferenza goniometrica, è possibile esprimere le funzioni goniometriche di un qualsiasi angolo in funzione di quelle di un angolo acuto appartenente al primo quadrante.
Principali Formule di Riduzione
1. Angoli supplementari (\(180^\circ - \alpha\) ovvero \(\pi - \alpha\))
Due angoli supplementari hanno lo stesso seno, mentre i seni e le tangenti sono opposti:
$$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha, \quad \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha, \quad \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha$$
2. Angoli che differiscono di \(180^\circ\) (\(180^\circ + \alpha\) ovvero \(\pi + \alpha\))
$$\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha, \quad \tan(180^\circ + \alpha) = \tan\alpha$$
3. Angoli esplementari o opposti (\(-\alpha\) ovvero \(360^\circ - \alpha\))
$$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(-\alpha) = \cos\alpha, \quad \tan(-\alpha) = -\tan\alpha$$
📝 Esempio Guidato
Calcola il valore esatto di \(\sin 150^\circ\).
Svolgimento:
- Osserviamo che l'angolo di \(150^\circ\) può essere scritto come supplementare di \(30^\circ\):
$$150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$$
- Applichiamo la formula degli angoli supplementari per il seno:
$$\sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ$$
- Dalla tabella degli angoli notevoli sappiamo che:
$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$
🎯 Risultato: \(\sin 150^\circ = \frac{1}{2}\).