1. Introduzione all'Aritmetica Binaria

L'aritmetica binaria è il fondamento logico-matematico su cui si basa l'intera architettura dei calcolatori elettronici moderni. Poiché i circuiti digitali riconoscono unicamente due stati di tensione (acceso/spento, rappresentati da 1 e 0), tutte le operazioni fondamentali (somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione) devono essere eseguite seguendo regole specifiche basate unicamente su queste due cifre.

2. L'Addizione Binaria

L'addizione in base 2 si esegue in colonna procedendo da destra verso sinistra, esattamente come nel sistema decimale. Le combinazioni fondamentali per la somma di due bit sono quattro:

• 0 + 0 = 0 (con riporto 0)
• 0 + 1 = 1 (con riporto 0)
• 1 + 0 = 1 (con riporto 0)
• 1 + 1 = 0 (con riporto di 1 nella colonna successiva a sinistra)

Nel caso in cui si debbano sommare tre bit contemporaneamente (per via di un riporto precedente, es. 1 + 1 + 1), il risultato è 1 con un riporto di 1 alla colonna successiva.

3. La Sottrazione Binaria

La sottrazione tra numeri binari segue le regole classiche dell'aritmetica posizionale, introducendo il concetto di prestito (borrow) quando si deve sottrarre 1 da 0. Le combinazioni di base sono:

• 0 - 0 = 0
• 1 - 0 = 1
• 1 - 1 = 0
• 0 - 1 = 1 (con un prestito di 1 dalla colonna immediatamente a sinistra)

Quando si richiede un prestito a una colonna vicina che ha valore 0, il prestito si propaga verso sinistra finché non si incontra un 1, il quale diventa 0 e trasforma gli zeri intermedi in 1.

4. La Moltiplicazione Binaria

La moltiplicazione in base 2 è estremamente semplice e persino più intuitiva di quella decimale, poiché la tavola di moltiplicazione si riduce a pochi casi elementari:

• 0 · 0 = 0
• 0 · 1 = 0
• 1 · 0 = 0
• 1 · 1 = 1

Per moltiplicare due numeri binari si procede calcolando i prodotti parziali (moltiplicando il moltiplicando per ciascuna cifra del moltiplicatore, scalando ogni riga successiva di una posizione verso sinistra) e infine sommando tutti i prodotti parziali ottenuti tramite le regole dell'addizione binaria.

5. La Divisione Binaria

La divisione binaria segue lo stesso algoritmo della divisione lunga (a due cifre o a colonna) insegnata nella scuola primaria, noto come metodo dividi e sottrai. Poiché le uniche cifre disponibili sono 0 e 1, a ogni passo il divisore entra nel dividendo parziale o 0 volte o 1 volta:

• Se il dividendo parziale è minore del divisore, il bit del quoziente è 0 e si abbassa la cifra successiva.
• Se il dividendo parziale è maggiore o uguale al divisore, il bit del quoziente è 1, si esegue la sottrazione tra il dividendo parziale e il divisore, e si abbassa la cifra successiva sul resto ottenuto.

   1 0 1 1  (11)
+     1 1 0  (6)
-----------
  1 0 0 0 1  (17)
                

6. Calcolatore Aritmetico Binario Interattivo

Inserisci due stringhe binarie e seleziona l'operatore desiderato per calcolare istantaneamente il risultato con verifica decimale.