Fisica / Vettori e Cinematica

Sistemi di Riferimento

La relatività del moto, coordinate spaziali, sistemi cartesiani, origine dei tempi e trasformazioni tra sistemi in moto relativo.

1. Concetto di Sistema di Riferimento

In fisica, il moto è un concetto puramente relativo. Un oggetto non è mai "in quiete" o "in moto" in senso assoluto, ma lo è soltanto rispetto a un determinato sistema di riferimento.

Un sistema di riferimento completo è costituito da:

Un corpo di riferimento: Un oggetto reale o ideale rispetto a cui misurare le posizioni spaziali.
Un sistema di coordinate: Generalmente un sistema di assi cartesiani ortogonali (O, x, y, z) solidale al corpo di riferimento, con un punto di origine O.
Un orologio: Un dispositivo per la misurazione del tempo, sincronizzato con l'inizio dell'osservazione (origine dei tempi t = 0).

2. Il Vettore Posizione

La posizione di un punto materiale P nello spazio in un generico istante t è individuata in modo univoco dal vettore posizione r(t), orientato dall'origine O del sistema al punto P:

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

La distanza d del punto P dall'origine O corrisponde al modulo del vettore posizione:

|r| = √(x² + y² + z²)

3. Cambio di Sistema di Riferimento e Traslazione dell'Origine

Se consideriamo due sistemi di riferimento S e S' i cui assi sono paralleli, ma l'origine O' del secondo sistema dista r_O' dall'origine O del primo, la posizione di un medesimo punto P descritta nei due sistemi si lega tramite la legge di addizione vettoriale:

r = r' + r_O' ⇒ r' = r - r_O'

📌 Sistemi Inerziali vs Non Inerziali:

Un sistema di riferimento si dice inerziale se in esso vale il primo principio della dinamica (principio d'inerzia). Qualsiasi sistema in moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema inerziale è anch'esso inerziale.

Un sistema in moto accelerato o in rotazione rispetto a un sistema inerziale si dice non inerziale e al suo interno compaiono le cosiddette forze apparenti.

📝 Esercizio Esempio Guidato

Testo: Rispetto a un sistema di riferimento S, l'origine O' di un secondo sistema S' si trova nel punto (5.0, -2.0, 0.0) m. Un oggetto P si trova nel punto (12.0, 4.0, 3.0) m rispetto a S. Determina le coordinate di P rispetto a S' e la sua distanza da O'.

Risoluzione passo-passo:

Calcolo coordinata x': x' = x - x_O' = 12.0 - 5.0 = 7.0 m.
Calcolo coordinata y': y' = y - y_O' = 4.0 - (-2.0) = 6.0 m.
Calcolo coordinata z': z' = z - z_O' = 3.0 - 0.0 = 3.0 m.
Coordinate del punto P in S': (7.0, 6.0, 3.0) m.
Distanza |r'| = √(7.0² + 6.0² + 3.0²) = √(49 + 36 + 9) = √94 ≈ 9.70 m.

🎯 Soluzione: Coordinate in S' = (7.0, 6.0, 3.0) m, Distanza |r'| ≈ 9.70 m.

✏️ 100 Esercizi Obbligatori di Fisica

Raccolta completa di esercizi su coordinate cartesiane, vettori posizione e trasformazioni di riferimento.

Esercizio 1

FACILE

Rispetto a un sistema cartesiano ortogonale Oxy, un punto P ha coordinate P(3, 4, 0) m. Determina il vettore posizione r_P e calcola la sua distanza dall'origine O.

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🎯 Risultato finale: r_P = 3i + 4j m, Distanza = 5.00 m

Risoluzione guidata:

1) Il vettore posizione si scrive direttamente dalle coordinate: r_P = 3i + 4j m.
2) Il modulo è |r| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.00 m.

Esercizio 2

FACILE

Un punto materiale si trova nel punto P(1, 2, 2) m. Determina il modulo del suo vettore posizione rispetto all'origine.

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🎯 Risultato finale: Distanza = 3.00 m

Risoluzione guidata:

1) Calcolo del modulo: |r| = √(1² + 2² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.00 m.

Esercizio 3

FACILE

Un oggetto si trova sull'asse x alla coordinata x = -5.0 m. Scrivi il suo vettore posizione nello spazio tridimensionale.

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🎯 Risultato finale: r = -5.0i m

Risoluzione guidata:

1) Poiché si trova sull'asse x, le componenti y e z sono nulle. Dunque r = -5.0i + 0j + 0k m.

Esercizio 4

FACILE

Determina la distanza dall'origine di un punto avente vettore posizione r = 6.0i - 8.0j m.

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🎯 Risultato finale: Distanza = 10.0 m

Risoluzione guidata:

1) Modulo: |r| = √(6.0² + (-8.0)²) = √(36 + 64) = √100 = 10.0 m.

Esercizio 5

FACILE

Un punto materiale si trova in P(2, 3, 6) m. Calcola il modulo del vettore posizione.

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🎯 Risultato finale: Distanza = 7.00 m

Risoluzione guidata:

1) Modulo: |r| = √(2² + 3² + 6²) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7.00 m.

Esercizio 6

FACILE

In un sistema inerziale S, un corpo è in quiete. È possibile che esso risulti in moto accelerato rispetto a un secondo sistema S'?

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🎯 Risultato finale: Sì, se il sistema S' è accelerato rispetto a S.

Risoluzione guidata:

1) Il moto è relativo: un osservatore in un sistema non inerziale (accelerato) vedrà un corpo in quiete muoversi di moto accelerato.

Esercizio 7

FACILE

Un punto ha coordinate (0, 0, 10) m. A quale asse cartesiano appartiene?

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🎯 Risultato finale: All'asse z.

Risoluzione guidata:

1) Poiché x = 0 e y = 0, il punto giace interamente lungo la direzione verticale z.

Esercizio 8

FACILE

Se un sistema S' si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema inerziale S, S' è inerziale?

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🎯 Risultato finale: Sì, per il principio di relatività galileiana.

Risoluzione guidata:

1) Tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme reciproco sono sistemi di riferimento inerziali.

Esercizio 9

FACILE

Un punto si trova in P(4, -3, 12) m. Calcola il modulo del vettore posizione.

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🎯 Risultato finale: Distanza = 13.0 m

Risoluzione guidata:

1) Modulo: |r| = √(4² + (-3)² + 12²) = √(16 + 9 + 144) = √169 = 13.0 m.

Esercizio 10

FACILE

Scrivi il vettore posizione di un punto P avente coordinate cartesiane (-2, 5, 0) m.

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🎯 Risultato finale: r = -2i + 5j m

Risoluzione guidata:

1) Sostituendo le componenti cartesiane nei versori fondamentali si ottiene r = -2i + 5j m.

Esercizio 50

MEDIO

In un riferimento S, l'origine O' di un sistema traslato S' si trova in O'(3, -4) m. Un oggetto si trova in P(10, 5) m in S. Calcola le coordinate di P nel riferimento S'.

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🎯 Risultato finale: P'(7, 9) m

Risoluzione guidata:

1) x' = 10 - 3 = 7 m.
2) y' = 5 - (-4) = 9 m.

Esercizio 100

DIFFICILE

Un sistema di riferimento S' si muove lungo l'asse x a velocità costante v = 5 m/s rispetto a S. All'istante t = 0 s le origini coincidono. Determina la posizione di un punto fisso P(x = 60 m) rispetto a S' all'istante t = 4 s.

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🎯 Risultato finale: x' = 40 m

Risoluzione guidata:

1) Posizione dell'origine mobile: x_O'(t) = 5 · 4 = 20 m.
2) Posizione relativa: x' = x - x_O' = 60 - 20 = 40 m.