1. Il Concetto di Componenti Cartesiane
Scomporre un vettore v nel piano cartesiano significa individuare due vettori componenti ortogonali vx (lungo l'asse x) e vy (lungo l'asse y) la cui somma vettoriale sia pari al vettore di partenza:
v = vx + vy
Considerando l'angolo θ formato dal vettore v con la direzione positiva dell'asse x, le proiezioni ortogonali si calcolano mediante la goniometria (seno e coseno).
2. Formule Trigonometriche Dirette e Inverse
Utilizzando i teoremi dei triangoli rettangoli, conosciuti il modulo |v| e l'angolo di inclinazione θ, le componenti sono:
vx = |v| · cos(θ) | vy = |v| · sin(θ)
🔄 Ricostruzione da Componenti a Modulo e Angolo:
|v| = √(vx2 + vy2) | tan(θ) = vy / vx ⇒ θ = arctan(vy / vx)
3. Segno delle Componenti nei 4 Quadranti
Il segno algebrico di vx e vy dipende dal quadrante in cui risiede il vettore v:
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Un vettore spostamento s ha modulo |s| = 10.0 m ed è inclinato di un angolo θ = 30° rispetto all'asse x positivo. Determina le componenti vx e vy del vettore.
Risoluzione passo-passo:
- Identificare le formule trigonometriche: sx = |s| · cos(30°) e sy = |s| · sin(30°).
- Noti i valori goniometrici: cos(30°) ≈ 0.866, sin(30°) = 0.5.
- Calcolo sx: sx = 10.0 · 0.866 = 8.66 m.
- Calcolo sy: sy = 10.0 · 0.5 = 5.00 m.
🎯 Soluzione: s = (8.66, 5.00) m