1. Il Prodotto Scalare (Dot Product)
Il prodotto scalare tra due vettori a e b è un numero reale (uno scalare) pari al prodotto dei loro moduli per il coseno dell'angolo θ compreso tra di essi:
a · b = |a| · |b| · cos(θ)
Geometricamente rappresenta la misura del modulo di un vettore moltiplicato per la proiezione ortogonale dell'altro su di esso. Se i vettori sono ortogonali (θ = 90°), il loro prodotto scalare è nullo.
2. Il Prodotto Vettoriale (Cross Product)
Il prodotto vettoriale tra due vettori a e b produce un nuovo vettore c = a × b caratterizzato da:
- Modulo: |c| = |a| · |b| · sin(θ), equivalente all'area del parallelogramma formato dai due vettori.
- Direzione: Perpendicolare al piano individuato da a e b.
- Verso: Determinato dalla regola della mano destra.
3. Espressioni Cartesiane dei Prodotti
Utilizzando le componenti cartesiane (ax, ay, az) e (bx, by, bz), le operazioni si calcolano analiticamente mediante:
Prodotto Scalare: a · b = axbx + ayby + azbz
Prodotto Vettoriale (tramite determinante):
a × b = (aybz - azby) î + (azbx - axbz) ĵ + (axby - aybx) k̂
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Dati i vettori a = 3î + 4ĵ e b = 2î - 1ĵ, calcola il loro prodotto scalare a · b e il modulo del loro prodotto vettoriale |a × b|.
Risoluzione passo-passo:
- Prodotto scalare: a · b = (3 · 2) + (4 · (-1)) = 6 - 4 = 2.
- Prodotto vettoriale componente k̂: (axby - aybx) = (3 · (-1)) - (4 · 2) = -3 - 8 = -11.
- Vettore risultante: a × b = -11k̂.
- Modulo del prodotto vettoriale: |a × b| = |-11| = 11.
🎯 Soluzione: a · b = 2, |a × b| = 11