1. Definizione Geometrica
Il prodotto di un vettore v per un numero reale (scalare) k è un nuovo vettore w = k · v che possiede le seguenti caratteristiche:
- Modulo: il modulo di w è pari al valore assoluto di k moltiplicato per il modulo di v:
|w| = |k| · |v| - Direzione: coincide con la stessa direzione del vettore originario v (i vettori sono paralleli).
- Verso:
- se k > 0, il verso di w è uguale a quello di v;
- se k < 0, il verso di w è opposto a quello di v;
- se k = 0, si ottiene il vettore nullo 0.
2. Vettore Unitario (Versore) e Divisione per uno Scalare
La divisione di un vettore v per uno scalare non nullo m corrisponde alla moltiplicazione per il suo reciproco (1 / m):
v / m = (1 / m) · v
Un'applicazione fondamentale è il calcolo del versore (o vettore unitario) uv associato a un vettore v. Il versore ha la stessa direzione e lo stesso verso di v, ma modulo esattamente pari a 1:
3. Calcolo Analitico con Componenti Cartesiane
Per moltiplicare un vettore espresso mediante le sue componenti cartesiane per uno scalare k, è sufficiente moltiplicare ciascuna componente per k:
Se v = (vx, vy), allora w = k · v = (k · vx, k · vy)
Modulo risultante: |w| = √((k · vx)2 + (k · vy)2) = |k| · √(vx2 + vy2)
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Dato il vettore forza F = (3.0, -4.0) N e lo scalare k = -2.5, calcola le componenti cartesiane del vettore risultante G = k · F e il suo modulo |G|.
Risoluzione passo-passo:
- Componente x: Gx = k · Fx = (-2.5) · (3.0) = -7.5 N.
- Componente y: Gy = k · Fy = (-2.5) · (-4.0) = +10.0 N.
- Modulo di F: |F| = √(3.02 + (-4.0)2) = √(9 + 16) = 5.0 N.
- Modulo di G: |G| = |k| · |F| = |-2.5| · 5.0 = 2.5 · 5.0 = 12.5 N.
🎯 Soluzione: G = (-7.5, 10.0) N, |G| = 12.5 N